Установка контроллера по умолчанию в Yii первой версии была очевидной — т.к. использовался параметр defaultController, который в Yii2 отсутствует.
Впрочем, он никуда не делся — просто получил новое имя — и теперь зовется defaultRoute.
Т.е. для установки контроллера по умолчанию достаточно в конфиге приложения указать следующие строки:
'defaultRoute' => 'dashboard/index'